DESENVOLVENDO UMA ATIVIDADE DE MAXIMIZAÇÃO DE ÁREA COM O GRAPH

Demonstro nestes vídeos como o Graph pode ser utilizado para desenvolver um problema de Maximização de Área. Peço desculpas caso minha fala não esteja muito clara, estou usando um aparelho ortodôntico que afetou minha dicção.  Abaixo do vídeo você encontra a descrição escrita da atividade.
FONTE: FACCO, Thiago Cabral. SOUZA, Thaís Regina. Educação Matemática e Informática: o uso de softwares e propostas para o ensino de matemática. 56 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Especialização no ENsino de Matemática). Faculdades Integradas do Vale Do Ivaí, Siqueira Campos, 2011.

Uma das funções presentes em quase todos os plotadores gráficos, como é o caso do Graph, é capacidade que este tem de realizar ajustes para a determinação de funções de diversos tipos: polinomial, exponencial, logarítmica entre outras. Essa função do software pode ser explorada para como ferramenta para a elaboração de, por exemplo, de modelos matemáticos.

A proposta apresentada a seguir busca exatamente utilizar estes recursos. Para exemplificá-la iremos utilizar um problema adaptado, costumeiramente apresentado, em livros didáticos envolvendo o valor máximo de uma função.

Problema: Em uma fazenda um trabalhador deve construir um galinheiro de forma retangular. Dispondo apenas de 30m de tela, o homem decide aproveitar um velho muro como uma das laterais do galinheiro. Qual a função que expressa a área do galinheiro um função do lado? Qual será a área máxima desse cercado sabendo que o muro tem extensão suficiente para ser lateral de qualquer galinheiro construído com essa tela?

Representação Gráfica do Problema do Galinheiro.

Este problema poderia ser resolvido deduzindo uma função que expresse a área em função das medidas dos lados e posteriormente encontrada o valor máximo desta função. Entretanto, a proposta aqui apresentada sugere uma investigação matemática através da simulação, em diversos instantes, para encontrar a solução.

Primeiramente calcula-se a área retangular do galinheiro, com valores diversificados, respeitando sempre a quantidade de cerca que há disponível. Para isso pode-se utilizar uma tabela auxiliar.

Tabela Auxiliar Problema do Galinheiro

  

A tabela demonstra os cálculos para as áreas de acordo com os lados que a cerca poderá ter. Por exemplo, se o lado A da cerca contiver 22 metros, sobrarão ainda outros dois lados que irão utilizar o restante da cercara, ou seja os 8 metros restantes. Como são dois lados para utilizar os 8 metros e estes lados devem ser iguais, cada lado deverá conter 4 metros.

Utilizando o Graph, pode-se montar uma relação entre a medida do lado A desta cerca (x) e a área do galinheiro (y). Para isso, dentro do Menu “Função” utilizaremos a “Inserir uma Série de Pontos”

Figura 1 – Inserindo Uma Série de Pontos no Graph.

Realizada a inserção destes pontos o próprio software estabelecerá, através da Função “Inserir Ajuste de Curva” a função que relaciona a medida do lado maior da cerca com a área do galinheiro. Para este realizar este ajuste são disponibilizadas algumas opções: ajuste exponencial, polinomial, logarítmico, etc. De acordo com os pontos, sabe-se que o melhor ajuste é o polinomial de grau 2, mas é interessante deixar que o aluno experimente as opções disponíveis. Pode este ser um momento interessante para expor o fator R², que quanto mais próximo a 1, melhor é o ajuste realizado pelo software. Este fator é importante principalmente em atividades experimentais e que envolvem modelos matemáticos, onde a inserção de pontos não exprime necessariamente uma função perfeita.

Figura 2 – Opções para o Ajuste de Curvas do Graph

Após o traçado do ajuste o software fornecerá a função da Área. Com este problema envolve áreas os valores negativos para o a Imagem devem ser desconsiderado. O traçado inicial do ajuste não considera este fator, pos isso se faz necessário um ajuste que é realizado com um duplo clique do mouse na função, no canto inferior esquerdo da tela, conforme demonstra a figura. O lado A (X) tem valor maior que 0 e menor que 30, logo podemos considerar para esta função um intervalo de 0 a 30, com extremos abertos.

Figura 3 – Alteração da Função no Graph

  

O Graph apresenta a função de uma forma diferente da costumeiramente usada, utilizando para representar o expoente o “^” e o sinal de multiplicação “*”. Fazendo a tradução desta linguagem apresentada pelo software, temos que a função que determina a área do galinheiro em função do lado é f(x) = -0,5x² + 15x, tal que, 0 < x < 30.

Resta apenas encontrar o valor máximo da função. Para isso podem ser utilizados dois recursos do Graph. O “Calcular Tabela” fornece cálculo de coordenadas, inserindo o intervalo e a variação dos valores, podendo o ponto máximo, através da observação na tabela, ser verificado. Há ainda a opção de utilizar a opção “Calculo”, selecionando, posteriormente, “Extremidade”, conforme destacado em vermelho na figura 4.

Figura 4 – Verificação de Ponto Máximo no Graph

  

Concluí-se que a área máxima do galinheiro será 112,5 m², quando o Lado A contiver 15 m e os outros dois lados da cerca tiverem, consequentemente, 7,5 m.

Esta proposta de atividade apresentada visa fazer com que o aluno estabeleça conexões entre os diversos valores presentes na função e o valor máximo que esta apresenta. Sem cálculos complexos é possível realizar a dedução de uma função pelo software e calcular seu ponto máximo.

Evidentemente não se espera que este processo venha substituir os encaminhamentos metodológicos presentes na escola sem a utilização destes recursos. Deseja-se esta atividade como um interessante ponto de partida, até mesmo como um meio questionador frente a tecnologia. Podem ser colocadas, por exemplo, estas questões para os alunos: “Como o aplicativo determina a função? É possível determinar uma função, através de seus pontos, sem utilizar meios computacionais?”.

É comum encontrar um senso de redução dos alunos frente o computador, como se a máquina fosse mais inteligente que o próprio ser humano. Através de atividades fazemos este perceber que por mais avançadas estejam as tecnologias, estas ainda são produções humanas. Logo, a capacidade de uma máquina será inferior a capacidade que temos de criar, produzir e interagir. A máquina depende dos seres humanos e não o contrário.