O GEOGEBRA COMO BASE NA ANÁLISE DE PARAMÊTROS NA FUNÇÃO SENO

FONTE:

FACCO, Thiago Cabral. SOUZA, Thaís Regina. Educação Matemática e Informática: o uso de softwares e propostas para o ensino de matemática. 56 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Especialização no ENsino de Matemática). Faculdades Integradas do Vale Do Ivaí, Siqueira Campos, 2011.

A proposta apresentada a seguir consiste numa análise, através da simulação no GeoGebra, da mudança de comportamento apresentada na função Seno quando seus parâmetros são alterados. Este conteúdo, pouco encontrado em livros didáticos, pode contribuir significativamente para o educando na compreensão do comportamento da função.

Os livros didáticos e até mesmo professores costumam expor esta função na sua forma regular, como se em nossa vida cotidiana só encontrássemos curvas senoides do tipo “f(x) = sin x”. Entretanto é notório que isso não acontece, encontramos diversos exemplos de construções, que apesar de apresentar uma curva senoide, não estão descritas na forma apresentada anteriormente.

Utilizando o GeoGebra, construímos primeiramente o gráfico da função f(x) = sin x, utilizando como base a circunferência trigonométrica de raio igual a 1.

Inicialmente realiza-se a construção da circunferência com a função “Circulo Dados Centro e Raio”. Após o traçado desta circunferência determinamos um raio utilizando a função “Segmento Definido por Dois Pontos”, tendo assim um segmento AB. Inserimos com a função “Novo Ponto”, um ponto auxiliar C, fixado na coordenada (1,0) e usando a função “Ângulo” determinamos a medida do ângulo central da circunferência, ângulo este formado por BÂC. Ao final apresenta-se esta construção, conforme a figura 14.

 Figura 1 – Construção Circunferência Trigonométrica de Raio Unitário.

Realizada esta construção, inserimos um novo ponto qualquer D sobre o gráfico. Com um duplo clique sobre este ponto definimos a condição de sua existência. Inicialmente sua condição de existência são as coordenadas deste ponto, entretanto, vamos modificar a sua condição para que respeite os valores da função seno na circunferência de raio unitário. Para isso na abscissa inserimos o valor de “α” e na ordenada o valor corresponde a imagem, ou seja, a função “f(α) = sin α”, conforme demonstrado na figura abaixo

Figura 2 – Construção do Ponto referente à Função Seno

Com isto conforme ocorre a movimentação do ponto B na circunferência, e consequentemente a modificação do valor do ângulo central, o ponto D ira descrever a função Seno. Para que ocorra um traçado nesta movimentação pode-se ativar a função “Habilitar Rastro” com um clique com o botão direito do mouse sobre o ponto D. Concluídos estes passos temos a construção do gráfico da função Seno.

Figura 3 – Construção da Função Seno

Somente este processo de construção da função percebe-se que tem maior dinamicidade quando comparado ao método tradicional onde seriam necessário a construção de tabelas para determinação de pontos e assim por diante.

Após a construção do gráfico pode-se propor ao aluno que realize determinada simulações. Por exemplo, podem-se pedir novas construções a partir de questões como esta “O que acontece com o gráfico se mudarmos a função para “f(x) = ½ sin x”? E se a função for “f(x) = 4 sin x”? Construa o traçado destas novas funções.”

O processo de construção destes traçados é idêntico ao anterior, bastando no momento de definir a condição de existência do ponto que servirá para o traçado realizar as mudanças conforme descritas. O resultado final, de acordo com a questão seria este.

Figura 4 – Construção da Função Seno Modificando a Amplitude

Para concluir, através de novos questionamentos, pode-se requisitar ao aluno que faça uma interpretação sobre as mudanças no comportamento da função. È possível que expressões como “Quando multiplicamos por 4 ela ficou bem mais alta.”, ou ainda, “Ao dividir por 2 ela ficou mais próxima do eixo das abscissas”. Através da simulação é possível compreender que, neste caso, a inserção de um parâmetro, um valor qualquer altera o valor do seno da função, resulta na alteração da amplitude da função.

Os alunos inicialmente podem não usar o termos adequados, como por exemplo, a amplitude. Este pode ser um bom momento para se fazer uma pesquisa, uma atividade investigativa, fazendo o próprio aluno ser essencial na construção do conhecimento desenvolvido e tornando assim seu aprendizado muito mais significativo do que apenas receber informações preestabelecidas de um livro ou do próprio professor.

Realizada esta primeira etapa, através de um novo questionamento pode-se elaborar a seguinte situação: “O que acontece quando dividimos o valor α por 2? E quando o multiplicamos por 4? Realize a construção do gráfico destas funções.”

            Os processos envolvidos para a realização destas atividades são os mesmos utilizados anteriormente, entretanto agora temos que adicionar algum valor em α que irá alterar o comportamento da função. Ao final, tem-se este resultado.

Figura 5 – Construção da Função Seno Modificando Período

Novamente, através da simulação realizada, o aluno pode compreender facilmente que a adição de um valor que altera o valor do ângulo α da irá alterar comportamento da função referente a quantas vezes ela se repete dentro de um mesmo intervalo. A este intervalo de da-se o nome de período da função.

Ainda é possível trabalhar, neste mesmo gráfico, outros dois parâmetros que ao serem adicionados na função irão alterar o comportamento da função deslocando-a no eixo das abscissas e das ordenadas.

Para deslocar a função no eixo da abscissa devemos adicionar algum valor ao ângulo α. Para deslocar a função no eixo da ordenada adicionamos algum valor a própria função. Exemplificando, respectivamente, pode-se ter as seguintes funções: “f(x) = sin (x + 1)” e “f(x) = sin x + 1”. Apesar de muito parecidas estas expressões determinam gráficos diferentes e estas questões devem ser analisadas com os alunos. Abaixo a figura que corresponde aos seus gráficos. Em verde há um deslocamento da abscissa e em laranja um deslocamento nas ordenadas.

Figura 6 – Construção da Função Seno Modificando Deslocamento nos Eixos

Para finalizar a realização desta atividade podemos solicitar ao aluno que elabore uma expressão genérica que represente as alterações realizadas. Mesmo que não contenha nessa expressão uma preocupação com uma linguagem matemática extremamente correta.

A forma apresentada até o momento para o estudo dos parâmetros na função seno pode ser utilizada também para as outras funções. Entende-se que este encaminhamento metodológico adotado torna o processo de ensino-aprendizagem mais rico do que a leitura de teorias expostas e livros e a exposição por parte do professor. A análise decorrente tornou o aluno sujeito fundamental da construção do seu conhecimento.

O GeoGebra ainda possui muitas outras funcionalidades que podem ser exploradas pelo professor na sua prática. A proposta apresentada é uma sugestão para a função Seno, entretanto o software possui uma grande capacidade de interagir com diversos conteúdos matemáticos, ficando apenas a cargo dó professor explorar suas alternativas.